Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

16-4x

的值域?yàn)锳，不等式lg（x-1）＜1的解集為B．
（1）求A∪B；
（2）若集合M={x|a-1＜x＜a+1}，且（A∩B）∩M=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根得到0≤16-4^x＜16，開(kāi)方即可求出函數(shù)f（x）的值域，確定出集合A；把不等式右邊的1變形后，由對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)為10大于1得到對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)真數(shù)大于0且對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可確定出集合B，
（1）根據(jù)確定出的集合A和B，求出兩集合的并集即可；
（2）根據(jù)確定出的集合A和B，先求出兩集合的交集，然后由（A∩B）∩M=∅，列出關(guān)于a的不等式，分別求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：由題意得：0≤16-4^x＜16，
∴0≤

16-4x

＜

16

=4，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，4），
∴A=[0，4）；
由不等式lg（x-1）＜1變形得：lg（x-1）＜lg10，
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)得：0＜x-1＜10，
解得1＜x＜11，
∴B=（1，11），
（1）∵A=[0，4），B=（1，11），
∴A∪B=[0，11）；
（2））∵A=[0，4），B=（1，11），
∴A∩B=（1，4），
由（A∩B）∩M=∅可知：a-1≥4或a+1≤1，
∴a≤0或a≥5．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于以函數(shù)的值域、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)為平臺(tái)，考查了交集及并集的運(yùn)算，同時(shí)考查了集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，以及空集的定義，其中確定出集合A和B是解本題的關(guān)鍵．