Question

下列命題中,其中正確命題的個(gè)數(shù)為(    )

①底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐;②所有側(cè)棱長都相等的棱錐一定是正棱錐;③各側(cè)面和底面所成二面角都相等的棱錐一定是正棱錐;④一個(gè)棱錐可以有兩條側(cè)棱與底面垂直;⑤底面多邊形內(nèi)接于一個(gè)圓的棱錐的側(cè)棱長都相等;⑥一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面與底面垂直.

A.0                  B.1                 C.3                 D.5

Answer 1

答案:B

解析:一個(gè)棱錐是正棱錐必須滿足兩個(gè)條件:一是底面是正多邊形;二是頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心.由此知①錯(cuò);②中的條件并沒有保證頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心,所以②錯(cuò).

如圖,V在底面的射影O為△ABC的內(nèi)切圓圓心,過O點(diǎn)作OE⊥BC,OF⊥AB,OG⊥AC,連結(jié)VE、VF、VG.

∴Rt△VEO≌Rt△VFO≌Rt△VGO.

∴∠VEO=∠VFO=∠VGO.

而∠VEO、∠VFO、∠VGO分別為三棱錐各側(cè)面和底面所成二面角的平面角.

但此三棱錐的頂點(diǎn)V在底面的射影O不一定為底面中心,

∴此三棱錐不一定為正三棱錐.因此③錯(cuò).

④中若一個(gè)棱錐有兩條側(cè)棱與底面垂直,則這兩條側(cè)棱平行,這是不可能的.

⑤中只有當(dāng)棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的內(nèi)接圓的圓心時(shí),利用三角形全等才可得到它的側(cè)棱長都相等.

如圖所示的四棱錐,VA⊥平面ABCD,則△VAD和△VAB為直角三角形.

所以⑥正確.故選B.