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【題目】已知拋物線E過點Q(12)F為其焦點,過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線EAB兩點,動點P滿足PAB的垂心為原點O.

1)求拋物線E的方程;

2)求證:動點P在定直線m上,并求的最小值.

【答案】1;(2)證明見解析,的最小值為.

【解析】

1)將點的坐標代入拋物線方程,由此求得的值,進而求得拋物線的方程.

2)設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程,寫出韋達定理,設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程求得的坐標,由此判斷出動點在定直線.求得的表達式,利用基本不等式求得其最小值.

1)將點坐標代入拋物線方程得,所以.

2)由(1)知拋物線的方程為,所以,設直線的方程為,設,由消去,所以.由于為三角形的垂心,所以,所以直線的方程為,即.同理可求得直線的方程為.,結(jié)合,解得,所以在定直線.

直線的方程為到直線的距離為到直線的距離為.所以,當且僅當時取等號.所以的最小值為.

練習冊系列答案
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