Question

已知映射f：P（m，n）→P′（

m

，

n

）（m≥0，n≥0）．設點，A（1，3），B（3，1），點M是線段AB上一動點，f：M→M′．當點M在線段AB上從點A開始運動到點B結束時，點M的對應點M′所經過的路線長度為

π

3

．

Answer 1

分析：根據所給的兩個點的坐標寫出直線的方程，設出兩個點的坐標，根據所給的映射的對應法則得到兩個點坐標之間的關系，代入直線的方程求出一個圓的方程，得到軌跡是一個圓弧，求出弧長．

解答：解：設點M′從A′開始運動，直到點B′結束，由題意知AB的方程為：x+y=4．設M′（x，y），
則M（x²，y²），由點M在線段AB上可得 x²+y²=4．
按照映射f：P（m，n）→P′（

m

，

n

），可得 A（1，3）→A′（1，

3

），B（3，1）→B′（

3

，1），
故tan∠A′OX=

3

1

=

3

，∴∠A′OX=

π

3

．
tan∠B′OX=

1

3

=

3

3

，∴∠B′OX=

π

6

，故∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=

π

6

，
點M的對應點M′所經過的路線長度為弧長

A′B′

=∠A′OB′•r=

π

6

×2=

π

3

，
故答案為

π

3

．

點評：本題考查弧長公式和軌跡方程，本題解題的關鍵是利用相關點法求出點的軌跡，題目不大，但是涉及到的知識點不少，屬于基礎題．