Question

已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，點A(s，f(s))，B(t，f(t))

(I)若a＝b＝1，求函數f(x)的單調遞增區間；

(II)若函數f(x)的導函數滿足：當|x|≤1時，有||≤恒成立，求函數f(x)的解析表達式；

(III)若0＜a＜b，函數f(x)在x＝s和x＝t處取得極值，且，證明：與不可能垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解：(I)f(x)＝x3－2x2+x，(x)＝3x2－4x+1， 　　因為f(x)單調遞增， 　　所以(x)≥0， 　　即3x2－4x+1≥0， 　　解得，x≥1，或x≤，　　　　　　　　　　　2分 　　故f(x)的增區間是(－∞，)和[1，+∞]．　　　　　3分 　　(II)(x)＝3x2－2(a+b)x+ab． 　　當x∈[－1，1]時，恒有|(x)|≤．　　　　　　　4分 　　故有≤(1)≤， 　　≤(－1)≤， 　　≤(0)≤，　　　　　　　　　　　　　　5 　　即　　　　　　6 　　①+②，得 　　≤ab≤，　　　　　　　　　　　　　　8分 　　又由③，得 　　ab＝， 　　將上式代回①和②，得 　　a+b＝0， 　　故f(x)＝x3x．　　　　　　　　　　　　　　　9分 　　(III)假設⊥， 　　即·＝＝st+f(s)f(t)＝0，　　10分 　　(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1， 　　[st－(s+t)a+a2][st－(s+t)b+b2]＝－1，　　　　11分 　　由s，t為(x)＝0的兩根可得， 　　s+t＝(a+b)，st＝，(0＜a＜b)， 　　從而有ab(a－b)2＝9．　　　　　　　　　　　12分 　　這樣(a+b)2＝(a－b)2+4ab 　　＝+4ab≥2＝12， 　　即a+b≥2， 　　這樣與a+b＜2矛盾．　　　　　　　　13分 　　故與不可能垂直．　　　　　　　　14分