Question

2．已知數列{a_n}中，a₁=1，其前n項的和為S_n，且滿足a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2）．
（1）求證：數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列；
（2）證明：當n≥2時，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$⇒S_n-S_n-1=2S_n•S_n-1（n≥2），取倒數，可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差數列的定義即可證得：數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數列；
（2）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+（n-1）×2=2n-1⇒S_n=$\frac{1}{2n-1}$．n≥2時，$\frac{1}{n}$$\frac{1}{n（2n-1）}$＜$\frac{1}{n（2n-2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），從而可證當n≥2時，S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜$\frac{3}{2}$．

解答 （本題滿分12分）
證明：（1）當n≥2時，S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
整理得：S_n-S_n-1=2S_n•S_n-1（n≥2），
$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，從而{$\frac{1}{{S}_{n}}$}構成以1為首項，2為公差的等差數列．-------（6分）
（2）由（1）可知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
∴當n≥2時，$\frac{1}{n}$$\frac{1}{n（2n-1）}$＜$\frac{1}{n（2n-2）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴S₁+$\frac{1}{2}$S₂+$\frac{1}{3}$S₃+…+$\frac{1}{n}$S_n＜1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）＜$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查數列遞推式的應用，考查等差數列的判定，考查等價轉化思想，突出裂項法、放縮法應用的考查，屬于難題．