Question

如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(1)求證：AB₁⊥面A₁BD；

(2)求二面角A－A₁D－B的正弦值；

Answer 1

答案：
解析：

解答：解法一： 　　(1)取中點，連結． 　　為正三角形，． 　　正三棱柱中， 　　平面平面， 　　平面．　2分 　　連結， 　　在正方形中，分別為 　　的中點， 　　，　4分 　　．在正方形中，， 　　平面．　6分 　　(2)設與交于點，在平面中，作于，連結， 　　由(Ⅰ)得平面．， 　　為二面角的平面角．　8分 　　在中，由等面積法可求得，又， 　　． 　　所以二面角的正弦大小　12分 　　解法二： 　　(1)取中點，連結．為正三角形，． 　　在正三棱柱中，平面平面， 　　平面．　2分 　　取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向 　　建立空間直角坐標系，　3分 　　則，，，，， 　　，，． 　　，， 　　，． 　　平面．　6分 　　(2)設平面的法向量為 　　，． 　　，， 　　 　　 　　令得為平面的一個法向量．　9分 　　由(1)知平面，為平面的法向量． 　　，． 　　二面角的正弦大小為　12分