Question

已知A、B是圓x²+y²=1與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F，使||PE|-|PF||為定值？若存在，求出E、F的坐標； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：由已知得A（-1，0）、B（1，0），
設P（x，y），C（x₀，y₀），則D（x₀，-y₀），
由A、C、P三點共線得 ①…（2分）
由D、B、P三點共線得 ②…（4分）
①×②得 ③
又 x₀²+y₀²=1，∴y₀²=1-x₀² 代入③得 x²-y²=1，
即點P在雙曲線x²-y²=1上，…（10分）
故由雙曲線定義知，存在兩個定點E（-，0）、
F（，0）（即此雙曲線的焦點），使||PE|-|PF||=2
（即此雙曲線的實軸長） 為定值．　…（13分）
分析：設P（x，y），C（x₀，y₀），則D（x₀，-y₀），由A、C、P三點共線得直線方程，由D、B、P三點共線得直線方程，將兩式相乘得 而 x₀²+y₀²=1，從而y₀²=1-x₀² 即點P在雙曲線x²-y²=1上，根據雙曲線定義知，存在兩個定點E（-，0），F（，0）滿足條件．
點評：本題主要考查了三點共線，以及雙曲線的性質，同時考查了分析問題的能力和運算能力，屬于中檔題．