Question

已知m∈C，關于x的一元二次方程x²-mx+4+3i=0恒有非零實根，且當x=a（a∈R，a≠0）時，|m|取得最小值，記z=5-|a|i，求復數•（1-bi）（b≥1）的輻角主值的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：首先寫出m的表示形式，表示出模長，根據均值不等式得到m的最小值，做出其對應的a的值，寫出復數的表示式，對于b的取值進行討論，根據實部和虛部的范圍，寫出幅角的范圍，表示出幅角．
解答：解：設x為非零實數，由已知可得：
|m|=|x+i|=≥=3．
當且僅當x=±時，|m|取最小值，|a|=．
∴z=5-5i，
∴（1-bi）=（5+5b）+（5-5b）i
①當b=1時，（1-bi）=10，輻角主值為0．
②當b＞1時，（1-bi）的實部大于0，虛部小于0．其輻角主值在（，2π）內，
此時，arg〔（1-bi）〕=2π+arctg（-1）
∵b＞1，
∴-1＜-1＜0，
∴-＜arctg（-1）＜0，
∴＜arg〔（1-bi）〕＜2π．
點評：本題考查復數的模長，考查均值不等式，考查復數的三角形式，考查幅角的主值，是一個綜合題，這種綜合題并不多見，注意這種題目的解答過程．