Question

已知{a_n}是各項都為正數的數列，其前n項和為S_n，且滿足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）證明{S_n²}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數列的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（I）令n=1，得a₁=1，令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．由此得．
（Ⅱ）2s_na_n-a₂ⁿ=1，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，所以s₂ⁿ-s₂^n-1=1=1．故s₂ⁿ是首項為1，公差為1的等差數列．由此能求出求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）設的前n項和為T_n．，再由一裂項求和法能求出其結果．
解答：解：（Ⅰ）令n=1，則有2a₂¹-a₂¹=1a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．
∴（舍去負值）．（3分）
（Ⅱ）∵2s_na_n-a₂ⁿ=1，①又n≥2時有a_n=s_n-s_n-1，代入①式并整理得
s₂ⁿ-s₂^n-1=1=1．
∴s₂ⁿ是首項為1，公差為1的等差數列．（6分）
∴s₂ⁿ=1+n-1=n，∴（n≥2），又a₁=1
∴．（8分）
（Ⅲ）設的前n項和為T_n．
由（Ⅱ）知
=+．
即的前n項和為．（12分）
點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．