Question

（2009•重慶模擬）已知{a_n}是各項都為正數的數列，S_n為其前n項的和，且a₁=1，S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
（I）分別求S₂²，S₃²的值；
（II）求數列{a_n}的通項a_n；
（III）求證：

1

2S1

+

1

3S2

+…+

1

(n+1)Sn

＜2(1-

1

Sn+1

)．

Answer 1

分析：（I）先把n=2代入S_n=

1

2

(an+

1

an

)；求出a₂進而求出求S₂²的值；同理求出S₃²的值即可．
（II）先根據S_n=

1

2

(an+

1

an

)得到s_n-1=s_n-a_n=

1

2

（a_n-

1

an

），進而得到{sn2}是首項為1，公差為1的等差數列；得到{sn2}的通項，進而求出數列{a_n}的通項；
（III）先令b_n=2（1-

1

sn+1

）=2（1-

1

n+1

），c_n=

1

(n+1)sn

=

1

(n+1) n

．再利用放縮法得到b_n-b_n-1＞c_n；最后求和整理即可得到結論．

解答：解：（I）令n=2，得1+a₁=

1

2

（a₂+

1

a2

）⇒a₂=

2

-1（舍去負的），
∴s₂=

2

⇒s22=2．
同理，令n=3可得s32=3．
（II）∵S_n=

1

2

(an+

1

an

)．
∴s_n-1=s_n-a_n=

1

2

（a_n-

1

an

），（n≥2）．
∴sn2-sn-12=

1

4

（a_n+

1

an

）²-

1

4

（a_n-

1

an

）²=1．
∴{sn2}是首項為1，公差為1的等差數列
∴sn2=n，
∴a_n=s_n-s_n-1=

n

-

n-1

，（n≥2）．
∴a_n=

1      (n=1) n - n-1   (n≥2)

．
（Ⅲ）令b_n=2（1-

1

sn+1

）=2（1-

1

n+1

），
c_n=

1

(n+1)sn

=

1

(n+1) n

．
∴b_n-b_n-1=2（1-

1

n+1

）-2（1-

1

n

）
=

2

n

-

2

n+1

=

2( n+1 - n )

n • n+1

=

2

n • n+1 ( n + n+1 )

＞

2

n • n+1 •( n+1 + n+1 )

=

1

n (n+1)

=c_n．
∴b_n-b_n-1＞c_n；
∴b_n-1-b_n-2＞c_n-1，…b₂-b₁＞c₂．
相加得：b_n-b₁＞c_n+c_n-1+…+c₂；
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+b₁；
又∵b₁=2（1-

1

2

）=2-

2

＞

1

2

=c₁．
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+c₁；
即

1

2S1

+

1

3S2

+…+

1

(n+1)Sn

＜2(1-

1

Sn+1

)成立．

點評：本題主要考察數列與不等式的綜合問題．解決本題的關鍵在于根據S_n=

1

2

(an+

1

an

)得到s_n-1=s_n-a_n=

1

2

（a_n-

1

an

），進而得到{sn2}是首項為1，公差為1的等差數列；得到{sn2}的通項．，題后注意體會本題證明不等式的技巧及證明時構造的技巧