Question

已知f（x）是定義在R上的函數，給出下列兩個命題：
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），則x₁+x₂=4．
q：若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），則
則使命題“p且q”為真命題的函數f（x）可以是________．

Answer 1

f（x）=-（x-2）²
分析：命題“p且q”為真命題，命題p，q均為真命題．p為真命題說明函數f（x）圖象關于直線x=2對稱．q為真命題，可以推出f（x）在（-∞，2]上單調遞增．可以想到二次函數．
解答：命題“p且q”為真命題，命題p，q均為真命題．
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），則x₁+x₂=4．說明函數f（x）圖象關于直線x=2對稱．
若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），，說明當x₁＞x₂時，f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，2]上單調遞增．
根據以上性質，f（x）可以是，f（x）=-（x-2）²
故答案為：f（x）=-（x-2）²．
點評：本題以復合命題真假出發，考查了初等函數的性質．考查轉化、數形結合的思想．