Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁C與AE所成角的余弦值是

15

15

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

A1C

與

AE

的向量坐標(biāo)，利用數(shù)量積求出異面直線A₁C與AE所成角的余弦值．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)如圖；設(shè)正方體的棱長為1，
則A（1，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1，），C（0，1，0），
因?yàn)镋是棱A₁B₁的中點(diǎn)，所以E（1，

1

2

，1），
所以

AE

=(0，

1

2

，1)，|

AE

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

，

A1C

=(-1，1，-1)，|

A1C

|=

3

，

A1C

?

AE

=

1

2

-1=-

1

2

，即

CA1

?

AE

=

1

2

，
所以異面直線A₁C與AE所成角的余弦值為cos＜

CA1

，

AE

＞=

CA1 ? AE

| CA1 |?| AE |

=

1 2

5 2 × 3

=

15

15

．
故答案為：

15

15

．

點(diǎn)評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角∠AEM（或其補(bǔ)角），是解題的關(guān)鍵．如果異面直線所成的角不容易找，則可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來求解．