Question

19．設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-4=0與圓（x-2）²+（y-2）²=4相切，則m+n的取值范圍是x≥2+2$\sqrt{2}$或x≤2-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后利用基本不等式變形，設m+n=x，得到關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．

解答 解：由圓的方程（x-2）²+（y-2）²=4，得到圓心坐標為（2，2），半徑r=2，
∵直線（m+1）x+（n+1）y-4=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|2m+2n|}{\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}}$=2，
整理得：m+n+1=mn≤（$\frac{m+n}{2}$）_²，
設m+n=x（x＞0），則有x+1≤$\frac{{x}^{2}}{4}$，即x²-4x-4≥0，
解得：x≥2+2$\sqrt{2}$或x≤2-2$\sqrt{2}$，
則m+n的取值范圍為x≥2+2$\sqrt{2}$或x≤2-2$\sqrt{2}$，
故答案為x≥2+2$\sqrt{2}$或x≤2-2$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉化及換元的思想，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．