Question

在直角坐標系xOy上取兩個定點A₁(－2,0)，A₂(2,0)，再取兩個動點N₁(0，m)，N₂(0，n)，且mn＝3.

(1)求直線A₁N₁與A₂N₂交點的軌跡M的方程；

(2)已知點A(1，t)(t＞0)是軌跡M上的定點，E，F是軌跡M上的兩個動點，如果直線AE的斜率k_AE與直線AF的斜率k_AF滿足k_AE＋k_AF＝0，試探究直線EF的斜率是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

解：(1)依題意知直線A₁N₁的方程為y＝(x＋2)，①

直線A₂N₂的方程為：y＝－(x－2)，②

設Q(x，y)是直線A₁N₁與A₂N₂交點，①×②得

∵N₁，N₂不與原點重合，

∴點A₁(－2,0)，A₂(2,0)不在軌跡M上，

∴軌跡M的方程為

(2)∵點A(1，t)(t＞0)在軌跡M上，

∴x_E＝

即直線EF的斜率為定值，其值為.