Question

設函數f(x)=ax²+blnx，其中ab≠0，證明：當ab＞0時，函數f(x)沒有極值點；當ab＜0時，函數f(x)有且只有一個極值點，并求出極值．

Answer 1

證明：因為f(x)=ax²+blnx，ab≠0，所以f(x)的定義域為(0，+∞)，
，
當ab＞0時，如果a＞0，b＞0，f′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上單調遞增；
如果a＜0，b＜0，f′(x)＜0，f(x)在(0，+∞)上單調遞減，
所以當ab＞0時，函數f(x)沒有極值點；
當ab＜0時，，
令f′(x)=0，得（舍去），(0，+∞)，
當a＞0，b＜0時，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

從上表可看出，函數f(x)有且只有一個極小值點，極小值為；
當a＜0，b＞0時，f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：

從上表可看出，函數f(x)有且只有一個極大值點，極大值為；
綜上所述，當ab＞0時，函數f(x)沒有極值點；
當ab＜0時，若a＞0，b＜0時，函數f(x)有且只有一個極小值點，極小值為；
若a＜0，b＞0時，函數f(x)有且只有一個極大值點，極大值為。