Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C： (a＞b＞0)的離心率為，且過點(1，)．過橢圓C的左頂點A作直線交橢圓C于另一點P，交直線l：x＝m(m＞a)于點M．已知點B(1，0)，直線PB交l于點N．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若MB是線段PN的垂直平分線，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1（2）

【解析】試題分析：（1）根據題意列出關于 、 、的方程組，結合性質 ， ，求出 、 、，即可得結果；（2）設，則,所以．可得直線的方程為，根據可得，解方程即可得結果.

試題解析：（1）因為橢圓C的離心率為，所以a2＝4b2．

又因為橢圓C過點(1，)，所以＋＝1，

解得a2＝4，b2＝1．

所以橢圓C的方程為＋y2＝1．

（2）解法1

設P(x0，y0)，－2＜x0＜2， x0≠1，則＋y02＝1．

因為MB是PN的垂直平分線，所以P關于B的對稱點N(2－x0，－y0)，

所以2－x0＝m．

由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直線AP的方程為y＝ (x＋2)，

令x＝m，得y＝，即M(m，)．

因為PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，

所以kPB·kMB＝·＝－1，

即＝－1．

因為＋y02＝1．所以＝1．

因為x0＝2－m ，所以化簡得3m2－10m＋4＝0，

解得m＝．

因為m＞2，所以m＝．

解法2

①當AP的斜率不存在或為0時，不滿足條件．

②設AP斜率為k，則AP：y＝k(x＋2)，

聯立消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．

因為xA＝－2，所以xP＝，所以yP＝，

所以P(，)．

因為PN的中點為B，所以m＝2－＝．(*)

因為AP交直線l于點M，所以M(m，k(m＋2))，

因為直線PB與x軸不垂直，所以≠1，即k2≠，

所以kPB＝＝，kMB＝．

因為PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，

所以·＝－1．（**）

將(*)代入（**），化簡得48k4－32k2＋1＝0，

解得k2＝，所以m＝＝．

又因為m＞2，所以m＝．