Question

設

a

= (

x

2

 ， -

y

2

)，

b

= (

x

2

 ， -

y

2

)，P（x，y）是曲線C上任意一點，且滿足

a

•

b

=1．O為坐標原點，直線l：x-y-1=0與曲線C交于不同兩點A和B．（1）求

OA

• 

OB

；（2）設點M（2，0），求MP的中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，可得橢圓方程，將直線方程與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，可求答案；
（2）假設點Q的坐標，利用Q是MP的中點，尋找坐標間的關系，從而可解．

解答：解：（1）曲線C為橢圓

x2

2

+

y2

4

=1．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是直線與橢圓的交點，
將y=x-1代入

x2

2

+

y2

4

=1，消去y，得3x²-2x-3=0．
則x1+x2=

2

3

 ， x1x2=-1，y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，∴

OA

• 

OB

=x1x2+y1y2=-

5

3

．
（2）設Q（x，y），則P（2x-2，2y），得

(2x-2)2

2

+

(2y)2

4

=1，則2（x-1）²+y²=1即為所求．

點評：本題主要考查向量的數量積運算，考查代入法求軌跡方程，關鍵是尋找動點與已知點坐標之間的關系．