Question

【題目】中國古代數學經典《數書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點D），交PC于N（異于點C）.

（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，是，，，，；（2）

【解析】

（1）根據是球的直徑，則，又平面， 得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，，進而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.

（2）以A為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系，設，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個法向量，代入公式求解.

（1）因為是球的直徑，則，

又平面，

∴，.∴平面，

∴，∴平面.

根據證明可知，四面體是鱉臑.

它的每個面的直角分別是，，，.

（2）如圖，

以A為原點，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標系，

則，，，，.

M為中點，從而.

所以，設，

則.

由，

得.

由得，即.

所以.

設平面的一個法向量為.

由.

取，，，得到.

記與平面所成角為θ，

則.

所以直線與平面所成的角的正弦值為.