Question

（任選一題）
①已知函數f（x）=x²-2，g（x）=xlnx，
（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）試判斷方程ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k=0有幾個實根．
②已知f′（x）為f（x）的導函數，且定義在R上，對任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x²，試證明f（x）＞0．

Answer 1

分析：①（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，將g（x）代入化簡得2xlnx+x²-ax+3≥0解出a要小于函數的最小值，利用導數討論函數的增減性得到函數的最小值即可；
（2）將f（x）代入到方程中化簡得k等于一個函數，求出函數的導函數=0時的x值，然后討論函數的增減性得到函數的最大值，然后討論k的范圍決定方程解的個數；
②設g（x）=x²f（x），求導函數，確定函數的單調性，從而可得g（x）≥0，進而可得結論．

解答：解：①（1）若對一切x∈（0，+∞），2g（x）≥ax-5-f（x）恒成立，
即2xlnx+x²-ax+3≥0在x∈（0，+∞）恒成立，∴a≤2lnx+x+

3

x

在x∈（0，+∞）恒成立，
令F（x）=2lnx+x+

3

x

，則F′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
令F′（x）=0，則x=1，∴F（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴F_min=F（1）=4，∴只需a≤4．
（2）將原方程化為ln（1+x2）-

1

2

x²+1=k，
令G（x）=ln（1+x²）-

1

2

x²+1，為偶函數，且G（0）=1，x＞0時G′（x）=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

∴G（x）_max=

1

2

+ln2且x→+∞，y→-∞，
∴k＞

1

2

+ln2時，無解；k=

1

2

+ln2或k=1時，三解；1＜k＜

1

2

+ln2，四解；k＜1時，兩解．
②證明：設g（x）=x²f（x），則令g'（x）=x[2f（x）+xf'（x）]=0得x=0
當x＜0，g'（x）＜0，∴函數g（x）單調遞減；當x＞0，g'（x）＞0，函數g（x）單調遞增
∴g（x）_min=g（0）=0
∴g（x）≥0
∵f′（x）為f（x）的導函數，對任意的x都有2f（x）+xf′（x）＞x²，∴f（x）=0不成立
∴f（x）＞0．

點評：本題考查學生利用導數求函數極值的能力，理解函數恒成立條件的能力，以及函數與方程的綜合運用能力，考查不等式的證明，屬于中檔題．