Question

【題目】已知函數，

（1）求證在上遞增；

（2）若在上的值域是，求實數a的取值范圍；

（3）當在上恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）設，計算得到證明.

（2）若在上的值域是，則，構造函數與 （），利用兩函數的圖像有兩個公共點，即求實數a的取值范圍；

（3）當在上恒成立在上恒成立，構造函數，利用基本不等式可求得，從而可求實數a的取值范圍.

（1）設，則

故，即函數單調遞增.

（2）∵在上單調遞增，∴若在上的值域是，

則，即，

故函數與（）的圖像有兩個公共點，

∵當時，（當且僅當，即時取“=”），

∴，解得.

（3）∵，在上恒成立上，

∴在上恒成立，

令，則（當且僅當，即時取等號），

要使上恒成立，故a的取值范圍是.