Question

“地溝油”嚴重危害了人民群眾的身體健康，某企業在政府部門的支持下，進行技術攻關，新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目．經測算，該項目處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數可以近似的表示為：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每處理一噸“食品殘渣”，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將補貼．
（1）當x∈[200，300）時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲得，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損；
（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析：（1）先確定該項目獲利的函數，再利用配方法確定不會獲利，從而可求政府每月至少需要補貼的費用；
（2）確定食品殘渣的每噸的平均處理成本函數，分別求出分段函數的最小值，即可求得結論．

解答：解：（1）當x∈[200，300）時，該項目獲利為S，則S=200x-（

1

2

x²-200x+80000）=-

1

2

（x-400）²，
∴當x∈[200，300）時，S＜0，因此，該項目不會獲利
當x=300時，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要補貼5000元才能使該項目不虧損；
（2）由題意知，食品殘渣的每噸的平均處理成本為

y

x

=

1 3 x2-80x+5040，x∈[120，144] 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

①當x∈[120，144）時，

y

x

=

1

3

(x-120)2+240，∴當x=120時，

y

x

取得最小值240；
②當x∈[144，500）時，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥400-200=200
當且僅當

1

2

x=

80000

x

，即x=400時，

y

x

取得最小值200
∵200＜240
∴每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，考查利用數學知識解決實際問題，解題的關鍵是確定函數關系式．