Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一動點P到左、右焦點F₁，F₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，點P到橢圓一個焦點的最遠距離為$\sqrt{2}$+1
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點F₂的直線交橢圓于A，B兩點
①若y軸上是否存在一點M（0，$\frac{1}{3}$）滿足|MA|=|MB|，求直線l斜率k的值；
②是否存在這樣的直線l，使S_△ABO的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（其中O為坐標原點）？若存在，求直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，根據橢圓的性質可知，2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（II）設直線l的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程，則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，由弦長公式可知$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
①設直線方程，聯立，得到中點坐標，根據|MA|=|MB|，得到MG所在的直線與直線l垂直，根據兩直線斜率之積為-1，即可求得直線l斜率k的值；
②分成斜率存在和不存在兩種情況討論，分別求得弦長丨AB丨，原點到直線的距離，進而求得面積的表達式，根據不等式即可得到結果．

解答 解：（I）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，由P到左、右焦點F₁，F₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，
根據橢圓的性質可知，2a=2$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$，…1分
點P到橢圓一個焦點的最遠距離為a+c=$\sqrt{2}$+1
∴c=1，
b²=a²-c²=1，…2分
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…3分
（II）由（Ⅰ）可知：F₂（1，0），設直線l的方程為：y=k（x-1），A （x₁，y₁），B （x₂，y₂），
聯立直線與橢圓方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
丨x₁-x₂丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，…4分
①由AB的中點坐標為G（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$），…5分
當k≠1時，由|MA|=|MB|，得到MG所在的直線與直線l垂直，
由MG所在的直線斜率為$\frac{-\frac{k}{1+2{k}^{2}}-\frac{1}{3}}{\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-0}$=$\frac{-2k-1-2{k}^{2}}{6{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，解得：k=1或k=$\frac{1}{2}$；…7分
當k=0時，AB的中垂線所在的直線的方程為x=0，滿足題意，
綜上所述，斜率k的取值為0，$\frac{1}{2}$，1；…8分
（2）當直線l的斜率不存在時，此時A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），得到丨AB丨=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…9分
當直線l的斜率存在時，丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，…10分

原點到直線l的距離為d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，…11分
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\sqrt{2}$丨AB丨•d=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{4（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，…12分
由$\frac{1}{4（1+2{k}^{2}）^{2}}$＞0，
所以S_△ABO＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
綜上所述，S_△ABO的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以滿足題意的直線存在，方程為x=1…14分

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，韋達定理，點到直線的距離公式，考查三角形面積公式的綜合應用，考查橢圓與不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．