Question

已知定義域為R的函數f（x）=ax²+2x+c的值域是[0，+∞），那么

c

a2+1

+

a

c2+1

的最小值為

1

．

Answer 1

分析：利用二次函數的性質可得ac=1，且a和c都是正數，把要求的式子化為（a+c）-

2

a+c

，顯然當a+c最小時，

c

a2+1

+

a

c2+1

最小，而由基本不等式可得a+c的最小值等于2，從而得到要求式子的最小值．

解答：解：∵定義域為R的函數f（x）=ax²+2x+c的值域是[0，+∞），
∴a＞0，且判別式△=4-4ac=0，∴ac=1，∴c＞0．
∴

c

a2+1

+

a

c2+1

=

c

a(a+c)

+

a

c(a+c)

=

c2+a2

ac(a+c)

=

(a+c)2-2ac

a+c

=（a+c）-

2

a+c

，
故當a+c最小時，

c

a2+1

+

a

c2+1

最�。�
而a+c≥2

ac

=2，當且僅當a=c時，等號成立，故

c

a2+1

+

a

c2+1

的最小值等于 2-

2

2

=1，
故答案為 1．

點評：本題主要考查二次函數的性質，基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵，屬于基礎題．