Question

（2013•金華模擬）若函數f（x）=sin2x+acos2x的圖象向左平移

π

3

個單位長度后得到的圖象對應的函數是偶函數，則a的值為

-

3

3

．

Answer 1

分析：利用輔助角公式化簡函數f（x）的解析式為

1+a2

sin（2x+∅），根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律可得平移后得到的函數是F（x）=sin2（x+

π

3

）+acos2（x+

π

3

），根據函數F（x）是偶函數，可得F（0）=±

1+a2

，由此求得a的值．

解答：解：∵函數f（x）=sin2x+acos2x=

1+a2

sin（2x+∅），其中，cos∅=

1

1+a2

，sin∅=

a

1+a2

．
函數f（x）=sin2x+acos2x的圖象向左平移

π

3

個單位長度后得到的圖象對應的
函數是F（x）=sin2（x+

π

3

）+acos2（x+

π

3

），
由于函數F（x）是偶函數，故有F（0）=±

1+a2

．
又F（0）=sin

2π

3

+acos

2π

3

=

3

2

-

1

2

a，∴(

3

2

-

1

2

a)2=1+a²，
即(

3

a+1)2=0，解得 a=-

3

3

．

點評：本題主要考查輔助角公式的應用，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，偶函數的定義和性質，屬于中檔題．