Question

（2013•金華模擬）已知拋物線y²=4px（p＞0）與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  2

  +1
• C．

  3

  +1
• D．

  2 2 +1

  2

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，連接AF'，由拋物線方程求得A（p，2p），結(jié)合雙曲線的焦距，得到△AFF'是以AF'為斜邊的等腰直角三角形．再根據(jù)雙曲線定義，得實(shí)軸2a=2p（

2

-1），而焦距2c=2p，由離心率公式可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，連接AF'
∵F是拋物線y²=4px的焦點(diǎn)，且AF⊥x軸，
∴設(shè)A（p，y₀），得y₀²=4p×p，得y₀=2p，A（p，2p），
因此，Rt△AFF'中，|AF|=|FF'|=2p，得|AF'|=2

2

p
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距2c=|FF'|=2p，實(shí)軸2a=|AF'|-|AF|=2p（

2

-1）
由此可得離心率為：e=

c

a

=

2c

2a

=

2p

2p( 2 -1)

=

2

+1
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線、拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．