Question

已知函數(shù)y=

1+x 1-x

+lg(3-4x+x2)的定義域為M．
（1）求M；
（2）當(dāng)x∈M時，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意列出不等式組

1+x 1-x ≥0且x≠1 3-4x+x2＞0

，求出解集再用區(qū)間表示；
（2）用配方法對解析式變形，設(shè)t=2^x由（1）的結(jié)果求出t的范圍，則原函數(shù)變成關(guān)于t的二次函數(shù)，再根據(jù)對稱軸和t的范圍進行分類，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出對應(yīng)的最小值．

解答：解：（1）由題意得，

1+x 1-x ≥0且x≠1 3-4x+x2＞0

，

-1≤x＜1 x＞3或x＜1

，解得-1≤x＜1
∴函數(shù)的定義域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a•2^x+2+3•4^x）=4a•2^x+3•2^2x=3(2x+

2

3

a) 2-

4

3

a²，
由（1）知，x∈[-1，1），設(shè)t=2^x，則t∈[

1

2

，2），
函數(shù)變?yōu)間（t）=3(t+

2

3

a)2-

4

3

a²，又∵a＞-3，∴-

2

3

a＜2，
①若-

2

3

a≤

1

2

時，即a≥-

3

4

，函數(shù)g（t）在[

1

2

，2）上時增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是g（

1

2

）=3(

1

2

+

2

3

a) 2-

4

3

a²=2a+

3

4

，
②若

1

2

＜-

2

3

a＜2時，即-3＜a＜-

3

4

，當(dāng)t=-

2

3

a時，f（x）取到最小值是-

4

3

a²．
綜上，當(dāng)a≥-

3

4

時，f（x）的最小值是2a+

3

4

；當(dāng)-3＜a＜-

3

4

，f（x）的最小值是-

4

3

a²．

點評：本題是一道綜合題，考查了求函數(shù)的定義域和最值，用了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法對函數(shù)解析式進行轉(zhuǎn)化后再求函數(shù)的最值，注意換元后的定義域和對稱軸的位置．