Question

(本小題滿分l2分) 如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G為BF的中點，若EG//面ABCD．

(I)求證：EG面ABF；
(Ⅱ)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)取AB的中點M，連結GM,MC，G為BF的中點……；（Ⅱ）=.

解析試題分析：(Ⅰ)取AB的中點M，連結GM,MC，G為BF的中點,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,
∵CE//AF,
∴CE//GM,………………2分
∵面CEGM面ABCD=CM,
EG// 面ABCD,
∴EG//CM,………………4分
∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM
∴EGAB, EGAF,
∴EG面ABF.…………………6分
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系,設AB=2,
則B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）

=(0，-2,1) , =(,-1，-1),   =(,1， 1),………………8分
設平面BEF的法向量=（）則
     令，則,
∴=（）…………………10分
同理，可求平面DEF的法向量  =（-）
設所求二面角的平面角為，則
=.…………………12分
考點：本題主要考查立體幾何中線面垂直及角的計算，空間向量的應用
點評：典型題，立體幾何中平行、垂直關系的證明及角的計算問題是高考中的必考題，通過建立適當的坐標系，可使問題簡化。