Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2， E,F，G分別是PC,PD,BC的中點．

(1)求三棱錐E-CGF的體積；
(2)求證：平面PAB//平面EFG；

Answer 1

（1）（2）對于面面平行的證明，一般要根據判定定理來得到，先證明EG//平面PAB．來說民結論。

試題分析：(1)解：∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥BC.
又∵ABCD為正方形，
∴CD⊥BC,
∴BC⊥平面PCD即GC⊥平面CEF.
∴V_E-CGF= V_G-CEF=×S_△CEF×GC=×(×1×1)×1=．      3分

(2)證明：E,F分別是線段PC,PD的中點，
∴EF//CD.
又ABCD為正方形，AB//CD，
∴EF//AB.
又EF平面PAB，
∴EF//平面PAB．
∵E,G分別是線段PC,BC的中點，
∴EG//PB.
又EG平面PAB，
∴EG//平面PAB．
∵EF∩EG=E,
∴平面PAB//平面EFG．                            6分
(3)Q為線段PB中點時，PC⊥平面ADQ．
取PB中點Q，連接DE,EQ,AQ，
∵EQ//BC//AD，
∴ADEQ為平面四邊形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，
又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點，
∴DE⊥PC.
∵AD∩DE=D，
∴PC⊥平面ADQ．                       10分
點評：主要是考查了幾何體的體積的計算，以及線面平行的判定定理的運用，屬于中檔題。