Question

1．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其短軸為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的右焦點為F，過點G（2，0）作斜率不為0的直線交橢圓E于M，N兩點，設直線FM和FN的斜率為k₁，k₂，試判斷k₁+k₂是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的性質2b=2，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得k₁+k₂的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：2b=2，b=1，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）設直線MN的方程為y=k（x-2）（k≠0）．
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k（{x}_{2}-2）}{{x}_{2}-1}$=k[2-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$]
=k[2-$\frac{\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-2}{\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+1}$]=0
∴k₁+k₂=0為定值．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，韋達定理及直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．