Question

P、Q、M、N四點都在橢圓x²+=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知與共線，與共線，且?=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。

Answer 1

解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（0，1），且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為k，又PQ過點F（0，1），

故PQ方程為y=kx+1.

將此式代入橢圓方程得(2+k²)x²+2kx－1=0.

設P、Q兩點的坐標分別為（x₁,y₁），（x₂,y₂），則

x₁=，x₂=.          

從而|PQ|²=(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)².=，

亦即|PQ|=       

(i)當k≠0時，MN的斜率為－，同上可推得

|MN|=故四邊形面積S=|PQ|?|MN|

==.

令u=k²+，得S=,

因為u=k²+≥2，

當k=±1時，u=2,S=，且S是以u為自變量的增函數所以≤S<2.               

(ii)當k=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|?|MN|=2.

綜合(i)，(ii)知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為.