Question

已知函數滿足f（0）=0，f′（1）=0，且f（x）在R上單調遞增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f′（x）-m•x在區間[m，m+2]上的最小值為-5，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由滿足f（0）=0，知d=0，由，f′（1）=0，知a-=0，由f（x）在R上單調遞增，能求出f（x）的解析式．
（2）由，知g（x）=f′（x）-mx=，由對稱軸為x=2m+1．分情況討論對稱軸與區間的位置關系能夠求出滿足題意的m的值．
解答：解：（1）∵數滿足f（0）=0，
∴d=0，
∴，
∵f′（1）=0，
∴a-=0，
∵f（x）在R上單調遞增，
∴，x∈R，
∴，x∈R．
故：，
∴a=，于是c=，
故f（x）=．
（2），
故g（x）=f′（x）-mx
=，
對稱軸為x=2m+1．下面分情況討論對稱軸與區間的位置關系：
①，
，
，
∴m=-3，（m=舍去）；
②當時，
，
∴m∈∅；
③當時，
，
∴m=-1+2；
綜上可得，滿足題意的m有m=-3或m=-1+2．
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數的最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．易錯點是分類討論時容易出現分類不清的錯誤．