Question

已知直線m，n與平面α，β，給出下列四個命題？
①若m∥α，n∥α，則m∥n
②若m∥α，n⊥α，則m⊥n
③若m⊥α，m∥β，則α⊥β
④若m，n是異面直線，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，則α∥β，
其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：選項①可以用空間中直線的位置關系討論；選項②可以用線面平行的性質結合線面垂直的定義進行討論；選項③可以用線面平行的性質結合面面垂直的判定定理進行判斷；選項④可以用線線的位置關系結合面面平行的判定定理討論．

解答：解：若m∥α，n∥α，兩直線的位置關系可能是平行，相交、異面，所以①不正確
若m∥α，由線面平行的性質，能將m平移到α內的m′，由n⊥α知n⊥m′，所以m⊥n成立，故②正確．
若m∥β，由線面平行的性質，能將m平移到β內的m′，結合m⊥α，m∥m′得m′⊥α，
β經過的α垂線，從而α⊥β，故③正確．
對于④，若m，n是異面直線，可以將直線m平移到m′，使相交直線m′、n確定一個平面γ，由m′∥α，n∥α，
可得平面γ∥α，同理可得γ∥β，最后由平行于同一平面的兩平面平行，得α∥β，故④正確
綜上所述，正確選項有②③④，3個
故選C

點評：本題是概念辨析題，著重考查了平面與平面之間的位置關系和面面垂直的判定、面面平行的判定，考查了空間想像能力，屬于基礎題．