Question

已知x，y滿足

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥-1

．
（1）求z=x-2y的最大值和最小值；
（2）求μ=x²+y²-4x-8y+20的最小值．

Answer 1

分析：作出不等式組表示的可行域
（1）目標函數z=x-2y變為y=

1

2

x-

z

2

，截距為-

z

2

，結合圖形可求z的最小值和最大值
（2）μ=x²+y²-4x-8y+20變為μ=（x-2）²+（y-4）²，μ表示點P（x，y）與點Q（2，4）兩點間距離的平方，結合圖形可求

解答：解：作出不等式組

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥-1

表示的可行域如圖所示：
（1）目標函數z=x-2y變為y=

1

2

x-

z

2

，
它表示斜率為

1

2

，截距為-

z

2

的直線，
當直線y=

1

2

x平行移動到點A時，截距-

z

2

最小，
此時B（2，-1），z_max=4；
當直線y=

1

2

x平行移動到點B時，截距-

z

2

最大，此時A（0，1），z_min=-2；
（2）μ=x²+y²-4x-8y+20變為μ=（x-2）²+（y-4）²，μ表示點P（x，y）與點Q（2，4）兩點間距離的平方，
由圖可知，μ_min=13

點評：本題主要考查了利用線性目標函數的幾何意義及兩點間的距離公式的簡單應用，體現了數形結合思想的應用