Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A(1，0)、B(0，-2)，點C滿足，其中m、n∈R，且m-2n=1，
(1)求點C的軌跡方程；
(2)設點C的軌跡與雙曲線(a＞0，b＞0，且a≠b)交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證為定值；
(3)在(2)的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設C(x，y)，因為，
則(x，y)=m(1，0)+n(0，-2)，
∴，
∵m-2n=1，
∴x+y=1，即點C的軌跡方程為x+y-1=0．
(2)由得，
由題意知，
設，則，，
因為以MN為直徑的圓過原點，
∴，
即，
∴，
即，
∴為定值．
(3)∵，
∴，
∵，
∴，
∴，及，∴，
從而0＜2a≤1；
∴雙曲線實軸長的取值范圍是(0，1]。