Question

（2011•河池模擬）已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量m=（sinB，1-cosB）與向量n=（2，0）的夾角為

π

3

，求

a+c

b

的最大值．

Answer 1

分析：利用兩個向量的夾角公式求出角B的大小，利用正弦定理把

a+c

b

化為

2 3

3

sin（

π

3

+A），由A的范圍求出sin（

π

3

+A）
的范圍，進而得到

2 3

3

sin（

π

3

+A）的范圍．

解答：解：∵

m

 •

n

=（sinB，1-cosB）•（2，0）=2sinB，|

m

|=

sin2B+ (1-cosB)2

=2sin

B

2

，
|

n

|=2，∴cos＜

m

，

n

＞=cos

π

3

=

m • n

| m| •| n |

=cos

B

2

，∴

B

2

=

π

3

，B=

2π

3

．
∴A+C=

π

3

，sinB=

3

2

．
由正弦定理得

a+c

b

= 

sinA+sinC

sinB

=

2 3

3

（sinA+sinC）=

2 3

3

（sinA+sin（

π

3

-A）
=

2 3

3

（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=

2 3

3

sin（

π

3

+A）．
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，

3

2

＜sin（

π

3

+A）≤1，

故

a+c

b

的最大值為 

2 3

3

．

點評：本題考查正弦定理、兩個向量的數量積、兩角和差的三角公式的應用，把

a+c

b

化為

2 3

3

sin（

π

3

+A）
是解題的關鍵．