Question

已知二次函數f（x）=ax²-bx+1（a，b為常數）．
（1）若a=1，且函數f（x）在區間（-3，4）上不是單調函數，求實數b的取值范圍；
（2）若b=a+2，a∈Z，當函數f（x）在x∈（-2，-1）上恰有一個零點，求a的值；
（3）設函數g（x）=2 x2-2x，若對任意的實數x₀，都有f（x₀）∈{y|y=g（x）}成立，求實數a，b滿足的條件．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求出對稱軸方程，由f（x）在區間（-3，4）上不是單調函數，得到-3＜

b

2

＜4，由此解得b的范圍；
（Ⅱ）把b=a+2代入函數解析式，得到f（x）=ax²-（a+2）x+1，分f（x）有相異實根，且只有一根在（-2，-1）上；f（x）有兩相等實根，且根在（-2，-1）上兩種情況求得a的值；
（Ⅲ）配方求得x²-2x的范圍，進一步得到g（x）的值域為[

1

2

，+∞）．設f（x）的值域為B，由題意知，B⊆[

1

2

，+∞），轉化為f（x）在R上有最小值大于等于

1

2

列不等式組得答案．

解答： （Ⅰ）當a=1時，函數f（x）=x²-bx+1的對稱軸為x=

b

2

，
若f（x）在區間（-3，4）上不是單調函數，
則-3＜

b

2

＜4，解得-6＜b＜8．
∴實數b的取值范圍是（-6，8）；
（Ⅱ）∵b=a+2，∴f（x）=ax²-（a+2）x+1．
①f（x）有相異實根，且只有一根在（-2，-1）上，
故f（-2）•f（-1）＜0，即（6a+5）（2a+3）＜0，
∴-

3

2

＜a＜-

5

6

，
又∵a∈Z，∴a=-1．
②f（x）有兩相等實根，且根在（-2，-1）上，
∴

△=(a+2)2-4a=0 -2＜ a+2 2a ＜-1

，此不等式組無解．
綜上所述，a=-1；
（Ⅲ）∵x²-2x=（x-1）²-1≥-1，
∴2x2-2x≥

1

2

，
∴g（x）的值域為[

1

2

，+∞）．
設f（x）的值域為B，由題意知，B⊆[

1

2

，+∞）．
即f（x）在R上有最小值，且f(x)min≥

1

2

，
∴

a＞0 4a-b2 4a ≥ 1 2

，即b²≤2a（a＞0）．
∴實數a，b滿足的條件是b²≤2a（a＞0）．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了二次函數的性質，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．