Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

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，a_n+1=

2an+2n-2，n為奇數 -an-n，n為偶數

，數列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=a_2n，其中n∈N^*．
（Ⅰ） 求a₂+a₃的值；
（Ⅱ） 證明：數列{b_n}為等比數列；
（Ⅲ） 是否存在n（n∈N^*），使得S_2n+1-

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=b_2n？若存在，求出所有的n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ） 根據數列的遞推關系即可求a₂+a₃的值；
（Ⅱ） 根據等比數列的定義即可證明數列{b_n}為等比數列；
（Ⅲ） 求出S_2n+1，b_2n，解方程即可得到結論．

解答： 解：（I） 因為a₂=1，a₃=-3，所以a₂+a₃=-2．（或者根據已知a_2n+1+a_2n=-2n，可得a₃+a₂=-2．）                    …（3分）
（II） 證明：b_n+1=a_2n+2=2a_2n+1+4n=2（-a_2n-2n）+4n=-2a_2n=-2b_n，b₁=a₂=2a₁=1，
故數列{b_n}是首項為1，公比為-2的等比數列．…（7分）
（III）由 （II） 知bn=(-2)n-1，
所以b2n=(-2)2n-1=-22n-1．
設cn=a2n+a2n+1(n∈N*)，則cn=-2n，
又S_2n+1=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_2n+a_2n+1）=a₁+c₁+c₂+…+c_n=-n2-n+

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．
則由S2n+1-

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=b2n，得2n²+2n+40=4ⁿ，
設f（x）=4^x-2x²-2x-40（x≥2），
則g（x）=f′（x）=4^xln4-4x-2，g′（x）=4^xln²4-4＞0（x≥2），所以g（x）在[2，+∞）上單調遞增，g（x）≥g（2）=f'（2）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在[2，+∞）上單調遞增
又因為f（1）＜0，f（3）=0，
所以僅存在唯一的n=3，使得S2n+1-

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=b2n成立．…（13分）

點評：本題主要考查遞推數列的應用以及等比數列的證明，考查學生的運算和推理能力．