Question

已知函數f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，從而求得結果．
（Ⅱ） 由于 函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

8

]上是增函數，在區間[

π

8

，

π

4

]上是減函數，求得f（-

π

4

）、f（

π

8

）、
f（

π

4

）的值，比較可得函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），x∈R，∴最小正周期為T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

 k∈z，
故函數的增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
故函數的減區間為[kπ+

π

8

kπ+

5π

8

]，k∈z．
再由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

8

]上是增函數，在區間[

π

8

，

π

4

]上是減函數．
又f（-

π

4

）=-1，f（

π

8

）=

2

，f（

π

4

）=1，
故函數f（x）在區間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值分別為

2

 和-1．

點評：本題主要考查函數y=Asin（ωx+∅）的周期性和求法，函數y=Asin（ωx+∅）的單調性和值域，屬于中檔題．