Question

有下列命題：①函數y=cos(x+

π

2

)是偶函數；②直線x=

π

8

是函數y=sin(2x+

π

4

)圖象的一條對稱軸；③函數y=sin(x+

π

6

)在(-

π

2

，

π

3

)上是單調增函數；④(

2π

3

，0)是函數y=tan(x+

π

3

)圖象的對稱中心．其中正確命題的序號是

 

．（把所有正確的序號都填上）

Answer 1

分析：先利用誘導公式化簡函數y=cos(x+

π

2

)，再判斷其奇偶性；然后利用y=sinx的對稱軸是使函數值等于1時的x的值，其單調區間是【-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ，k∈N₊】來判斷②③，另外正切函數的對稱中心是使函數值為0的x的值，可判斷④．

解答：解：①y=cos(x+

π

2

)=sin（-x）=-sinx，所以①為奇函數；②y=sinx的對稱軸是x=

π

2

+kπ，令2x+

π

4

=

π

2

+kπ，x=

π

8

+

kπ

2

，當k=0時，x=

π

8

，所以②正確；③y=sin(x+

π

6

)的遞增區間為-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

2π

3

+2kπ≤ x ≤

π

3

+ 2kπ，（-

π

2

，

π

3

）在該區間范圍內，所以③正確；④y=tan(x+

π

3

)的對稱中心為x+

π

3

=kπ，當k=1時，x=

2π

3

，所以④正確，故答案為②③④．

點評：判斷三角函數的奇偶性，對稱，單調區間等問題是本章的熱點考點，解答這類問題的關鍵是關鍵是熟記正弦，余弦與正切函數的變換規律．如正弦函數y=sinx是奇函數，余弦函數y=cosx是偶函數，y=sinx的對稱中心是使函數值等于0時的x的值等知識點，考查綜合應用知識的能力．