Question

a₁，a₂，a₃，a₄是各項不為零的等差數列且公差d≠0，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列，則

a1

d

的值為

 

．

Answer 1

分析：先利用等差數列通項公式分別表示出a₂，a₃，a₄，進而分別看a₁、a₂、a₃成等比數列，a₁、a₂、a₄成等比數列和a₁、a₃、a₄成等比數列時，利用等比中項的性質，得a₂²=a₁•a₃和a₂²=a₁•a₄和a₃²=a₁•a₄，進而求得a₁和d的關系．

解答：解：a₂=a₁+d  a₃=a₁+2d  a₄=a₁+3d
若a₁、a₂、a₃成等比數列，則a₂²=a₁•a₃
（a₁+d）²=a₁（a₁+2d）
a₁²+2a₁d+d²=a₁²+2a₁d
d²=0
d=0 與條件d≠0矛盾
若a₁、a₂、a₄成等比數列，則a₂²=a₁•a₄
（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
a₁²+2a₁d+d²=a₁²+3a₁d
d²=a₁d
∵d≠0
∴d=a₁
則

a1

d

=1
若a₁、a₃、a₄成等比數列，則a₃²=a₁•a₄
（a₁+2d）²=a₁（a₁+3d）
a₁²+4a₁d+4d²=a₁²+3a₁d
4d²=-a₁d
∵d≠0
∴4d=-a₁
則

a1

d

=-4
若a₂、a₃、a₄成等比數列，則a₃²=a₂•a₄
（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+3d）
a₁²+4a₁d+4d²=a₁²+4a₁d+3d²
d²=0
d=0 與條件d≠0矛盾
綜上所述：

a1

d

=1 或

a1

d

=-4
故答案為1或-4

點評：本題主要考查了等差數列和等比數列的性質．考查了等差數列通項公式和等比中項的性質的靈活運用．