Question

已知雙曲線M：

x2

a2

-

y2

b2

=1和雙曲線N：

y2

a2

-

x2

b2

=1，其中b＞a＞0，且雙曲線M與N的交點在兩坐標軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，則雙曲線M的離心率為（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  5 +3

  2

• D．

  3- 5

  2

Answer 1

分析：根據雙曲線M與N的交點在兩坐標軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，得交點坐標為：（c，c），其中c是兩個雙曲線公共的半焦距．將點（c，c）代入雙曲線M（或雙曲線N）的方程，結合b²=c²-a²化簡整理，得e⁴-3e²+1=0，解之得e²=

3+ 5

2

=（

5 +1

2

）²，從而得到雙曲線M的離心率e=

5 +1

2

．

解答：解：∵雙曲線M方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，雙曲線N方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1，其中b＞a＞0，
∴兩個雙曲線的焦距相等，設為個焦距為2c，其中c滿足：c=

a2+b2

∵雙曲線M與N的交點在兩坐標軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，
∴交點坐標為：（c，c），代入雙曲線M（或雙曲線N）的方程，得

c2

a2

-

c2

b2

=1，結合b²=c²-a²得：

c2

a2

-

c2

c2-a2

=1，
去分母，得c²（c²-a²）-a²c²=a²（c²-a²），
整理，得c⁴-3a²c⁴+a⁴=0，所以e⁴-3e²+1=0，解之得e²=

3+ 5

2

=（

5 +1

2

）²（另一值小于1舍去）
∴雙曲線M的離心率e=

5 +1

2

故選A

點評：本題給出兩個形狀相同，但焦點分別在x、y上的雙曲線，它們的交點在兩坐標軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單性質與基本概念，屬于中檔題．