Question

設函數f（x）=1-x²+log

1

2

（x-1），則下列說法正確的是（　　）

A．f（x）是增函數，沒有最大值，有最小值

B．f（x）是增函數，沒有最大值、最小值

C．f（x）是減函數，有最大值，沒有最小值

D．f（x）是減函數，沒有最大值、最小值

Answer 1

分析：首先求出函數的定義域，g(x)=1-x2，h(x)=log

1

2

(x-1)在（1，+∞）上為減函數，利用在同一區間上兩減函數的和仍為減函數，確定出函數f（x）=1-x²+log

1

2

（x-1）單調性，從而確定有無最值．

解答：解：要使函數f（x）=1-x²+log

1

2

（x-1）有意義，
只需：x-1＞0即可，
所以函數的定義域為：{x|x＞1}．
設g(x)=1-x2，h(x)= log

1

2

(x-1)，
因為g（x），h（x）在（1，+∞）都是減函數，
所以f（x）=1-x²+log

1

2

（x-1）在（1，+∞）上為減函數，
因為（1，+∞）是開區間，區間的兩個端點取不到，所以f（x）在（1，+∞）上沒有最大值、最小值．
故選D．

點評：本題考查函數的單調性，最值，用到了同一區間上兩減函數的和仍為減函數，單調函數開區間上沒有最大值、最小值．