Question

設集合A={x|

x-3

2-x

≥0}，奇函數y=f（x）（x∈R）為R上的減函數，集合B={x|f[{lg（1+2ax）]+f[-lg（a+x）]＞0，0＜a≤

1

2

}．若A?B．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：解分式不等式，化簡得A={x|2＜x≤3}．根據函數為奇函數化簡集合B，得不等式lg（1+2ax）＜lg（a+x），結合對數的運算性質，建立關于x的不等式組，從而得出B={x|x＞

a-1

2a-1

}．最后利用A

?

≠

B建立關于a的不等式組，解之可得實數a的取值范圍．

解答：解：化簡，得A={x|2＜x≤3}
∵f（x）是奇函數，∴f[lg（1+2ax）]+f[-lg（a+x）]＞0，
即f[lg（1+2ax）]＞f[lg（a+x）]
又∵f（x）是減函數，∴lg（1+2ax）＜lg（a+x）
由A

?

≠

B知B≠∅，∴

1+2ax＞0 a+x＞0 1+2ax＜a+x

，可得

1+2ax＞0 (2a-1)x＜a-1

（1）若a=

1

2

，則B=∅，這與題設矛盾不可能．
（2）若0＜a＜

1

2

則x＞

a-1

2a-1

且x＞-

1

2a

∴由

a-1

2a-1

＞-

1

2a

，得B={x|x＞

a-1

2a-1

}
∵A

?

≠

B，∴

a-1

2a-1

≤2，解之得0＜a≤

1

3

．
綜上所述，可得實數a的取值范圍是(0，

1

3

]．

點評：本題以集合的包含關系為載體，求滿足條件的參數a的范圍．著重考查了函數的簡單性質、對數的運算法則和不等式的解法等知識，屬于中檔題．