Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；l₁，l₂是過點P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點，l₂交E于C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N。
（1）求橢圓E的方程；
（2）求l₁的斜率k的取值范圍；
（3）求證：直線OM與直線ON的斜率乘積為定值（O為坐標原點）。

Answer 1

解：（1）設橢圓方程為
由得
∴橢圓方程為。
（2）由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零
設l₁：y=kx+2，則l₂：
由消去y并化簡整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
根據題意，Δ=（16k）²-16（3+4k²）>0，
解得
同理得
∴。
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），那么

∴，
∴
同理可得
即
∴
即直線OM與直線ON的斜率乘積為定值。