【題目】已知函數
在
處取得極小值.
（1）求實數
的值；
（2）若函數
存在極大值與極小值，且函數
有兩個零點，求實數
的取值范圍.（參考數據：
，
）
【答案】（1）
或
（2）
【解析】
（1）根據極值的定義，求出或，再對
的兩種取值分別進行驗證；
（2）由第（1）問先確定，得到
，利用導數研究函數
的單調性，即函數在
上單調遞增，在
上單調遞減，再結合零點存在定理的條件，得到參數
的取值范圍.
解：（1）由題意得
.
因為函數
在
處取得極小值，
依題意知
，解得或.
當時，
，若
，
，則函數
單調遞減，
若
，
，則函數單調遞增，
所以，當時，取得極小值，無極大值，符合題意.
當時，
，若
或，，則函數單調遞增；
若
，，則函數單調遞減，所以函數在處取得極小值，
處取得極大值，符合題意，
綜上，實數或.
（2）因為函數存在極大值與極小值，所以由（1）知，.
所以，
.
當
時，
，故函數在上單調遞增，
當
時，令
，則
，所以當
或
時，
，
單調遞增，
當
時，
，單調遞減，
因為
，
，所以當時，
，故在上單調遞減.
因為函數在
上有兩個零點，所以
，所以
.
取
，
；
取
，
，
所以，實數的取值范圍是.
應用題點撥系列答案
狀元及第系列答案
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于圓周率
，數學發展史上出現過許多有創意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗．受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個x，y都小于1的正實數對
，再統計其中x，y能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數m，最后根據統計個數m估計的值．如果統計結果是
，那么可以估計的值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了選拔學生參加“XX市中學生知識競賽”，先在本校進行選拔測試，若該校有100名學生參加選拔測試，并根據選拔測試成績作出如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據頻率分布直方圖，估算這100名學生參加選拔測試的平均成績；
（2）該校推薦選拔測試成績在110以上的學生代表學校參加市知識競賽，為了了解情況，在該校推薦參加市知識競賽的學生中隨機抽取2人，求選取的兩人的選拔成績在頻率分布直方圖中處于不同組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝
，∠BAD＝120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】至2018年底,我國發明專利申請量已經連續8年位居世界首位,下表是我國2012年至2018年發明專利申請量以及相關數據.
總計 | ||||||||
年代代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 28 |
申請量 | 65 | 82 | 92 | 110 | 133 | 138 | 154 | 774 |
| 65 | 164 | 276 | 440 | 665 | 828 | 1078 | 3516 |
注：年代代碼1~7分別表示2012~2018.
（1）可以看出申請量每年都在增加,請問這幾年中那一年的增長率達到最高,最高是多少？
（2）建立
關于
的回歸直線方程(精確到0.01),并預測我國發明專利申請量突破200萬件的年份.
參考公式：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
(α為參數)經過伸縮變換
得到曲線C2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C2的普通方程；
(2)設曲線C3的極坐標方程為
，且曲線C3與曲線C2相交于M，N兩點，點P(1，0)，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，制表如下：
甲公司某員工A | 乙公司某員工B | |||||||||||||
3 | 9 | 6 | 5 | 8 | 3 | 3 | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 |
0 | 1 | 4 | 4 | 2 | 2 | 2 | ||||||||
每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：
甲公司規定每件4.5元；乙公司規定每天35件以內（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（1）根據表中數據寫出甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數的平均數和眾數；
（2）為了解乙公司員工B的每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為
（單位：元），求的分布列和數學期望；
（3）根據表中數據估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費.
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