Question

求一切實數(shù)p，使得三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數(shù)．

Answer 1

x=1是方程的一個根．于是只要考慮二次方程5x²-5px+66p-1=0的兩個根為正整數(shù)即可．
設(shè)此二正整數(shù)根為u、v．則由韋達定理知，

u+v=p① uv= 1 5 (66p-1)②

消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：5²uv-5×66u-5×66v=-5．
∴（5u-66）（5v-66）=66²-5=4351=19×229．由于u、v均為整數(shù)，故5u-66、5v-66為整數(shù)．
∴

5u-66=1 5v-66=4351

或

5u-66=-1 5v-66=-4351

或

5u-66=19 5v-66=229

或

5u-66=-19 5v-66=-229

∴其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17，v=59這一組值．此時p=76．