Question

求一切實數p，使得三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數．

Answer 1

分析：因為5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p=（x-1）（5x²-5px+66p-1）=0，所以使三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三個根均為正整數，只要考慮二次方程5x²-5px+66p-1=0的兩個根為正整數即可．

解答：解：x=1是方程的一個根．于是只要考慮二次方程5x²-5px+66p-1=0的兩個根為正整數即可．
設此二正整數根為u、v．則由韋達定理知，

u+v=p① uv= 1 5 (66p-1)②

消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：5²uv-5×66u-5×66v=-5．
∴（5u-66）（5v-66）=66²-5=4351=19×229．由于u、v均為整數，故5u-66、5v-66為整數．
∴

5u-66=1 5v-66=4351

或

5u-66=-1 5v-66=-4351

或

5u-66=19 5v-66=229

或

5u-66=-19 5v-66=-229

∴其中使u、v為正整數的，只有u=17，v=59這一組值．此時p=76．

點評：本題考查了函數零點與方程根的關系，考查了轉化思想，解答此題的關鍵是把三次方程根的情況轉化為二次方程根的情況，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質．