Question

【題目】設A（n）表示正整數n的個位數，an=A（n2）﹣A（n），A為數列{an}的前202項和，函數f（x）=ex﹣e+1，若函數g（x）滿足f[g（x）﹣ ]=1，且bn=g（n）（n∈N*），則數列{bn}的前n項和為 ．

Answer 1

【答案】n+3﹣（2n+3）?（ ）n
【解析】解：n的個位數為1時有：an=A（n2）﹣A（n）=0，

n的個位數為2時有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣2=2，

n的個位數為3時有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣3=6，

n的個位數為4時有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣4=2，

n的個位數為5時有：an=A（n2）﹣A（n）=5﹣5=0，

n的個位數為6時有：an=A（n2）﹣A（n）=6﹣6=0，

n的個位數為7時有：an=A（n2）﹣A（n）=9﹣7=2，

n的個位數為8時有：an=A（n2）﹣A（n）=4﹣8=﹣4，

n的個位數為9時有：an=A（n2）﹣A（n）=1﹣9=﹣8，

n的個位數為0時有：an=A（n2）﹣A（n）=0﹣0=0，

每10個一循環，這10個數的和為：0，

202÷10=20余2，余下兩個數為：a201=0，a202=2，

∴數列{an}的前202項和等于：a201+a202=0+2=2，

即有A=2．

函數函數f（x）=ex﹣e+1為R上的增函數，且f（1）=1，

f[g（x）﹣ ]=1=f（1），

可得g（x）=1+ =1+ ，

則g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，

即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，

則數列{bn}的前n項和為n+[1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n]，

可令S=1（ ）1+3（ ）2+5（ ）3++（2n﹣1）（ ）n，

S=1（ ）2+3（ ）3+5（ ）4++（2n﹣1）（ ）n+1，

兩式相減可得 S= +2[（ ）2+（ ）3+（ ）4++（ ）n]﹣（2n﹣1）（ ）n+1

= +2 ﹣（2n﹣1）（ ）n+1，

化簡可得S=3﹣（2n+3）（ ）n，

則數列{bn}的前n項和為n+3﹣（2n+3）（ ）n．

故答案為：n+3﹣（2n+3）（ ）n．

先根據n的個位數的不同取值推導數列的周期，由周期可求得A=2，再由函數f（x）為R上的增函數，求得g（x）的解析式，即有bn=g（n）=1+（2n﹣1）（ ）n，再由數列的求和方法：分組求和和錯位相減法，化簡整理即可得到所求和．