Question

設△ABC的三邊BC=4pq，CA=3p²+q²，AB=3p²+2pq-q²，求∠B，并證∠B為∠A及∠C的等差中項．

Answer 1

分析：由BC，CA及AB的值，利用余弦定理表示出cosB的值，分子把第1和第3項結合利用平方差公式化簡，然后分子提取4pq，約分化簡后得到其值等于

1

2

，然后根據B的范圍，利用特殊角的三角函數值求出B的度數；然后表示出角C減角B，把B的度數代入并利用三角形的內角和定理即可得到值為角B減角A，得證．

解答：解：由余弦定理可得：
cosB=

AB2+BC2-CA2

2AB•BC

=

(3p2+2pq-q2) 2+(4pq)2-(3p2+q2) 2

2(3p2+2pq-q2)• 4pq

=

4pq(3p2+2pq-q2)

8pq(3p2+2pq-q2)

=

1

2

，
∴∠B=60°，
∵∠C-∠B=（180°-∠A-∠B）-∠B=60°-∠A
=∠B-∠A，
?∴∠B是∠A與∠C的等差中項．

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握等差中項的意義及證明方法，是一道中檔題．